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Bildqelle: [4]

Entaniya Fisheyes 200°/250° HAL - Abbildungsfunktionen

Zitat aus dem Wikipedia-Artikel  Fischaugenobjektiv[1a]
Das weltweit erste in Serie produzierte Fischaugenobjektiv wurde 1962 von Nikon vorgestellt (Fisheye-Nikkor 1:8, f = 8 mm).[2] Das Objektiv ragte weit in das Kameragehäuse hinein, so dass der Spiegel hochgeklappt und arretiert, und ein externer Sucher am Blitzsteckschuh befestigt werden musste. Mittlerweile gibt es eine Vielzahl an Herstellern, die Fischaugenobjektive produzieren. Für einäugige Spiegelreflexkameras sind sie meist als Retrofokusobjektive ausgeführt, damit der Spiegel zwischen Verschluss und Hinterlinse genug Platz hat. Moderne spiegellose Kamerasysteme mit erheblich kürzeren Auflagemaßen ermöglichen durch den geringen Abstand von Optik und Sensor den Verzicht auf Retrofokuskonstruktionen. Das verringert den Aufwand oder ermöglicht bei gleichem Aufwand größere Bildwinkel. Miniaturfischaugenobjektive für sehr kleine Sensoren, wie sie in Überwachungskameras oder Action-Camcorder eingesetzt werden, sind noch preiswerter, so dass noch größere Bildwinkel bis 280°[3] angeboten werden, und nicht mehr kosten, als ein 180°-Retrofokus-Fischaugenobjektiv für das Kleinbildformat. Inzwischen gibt es auch vergrößerte Varianten eines Miniaturfischauges mit 250° Bildwinkel für den MFT-Anschluss.[4]

2017

Die MFT-250°-Fischaugen konnten ab dem 23. Dezember 2016 vorbestellt werden und sollen ab Februar 2017 ausgeliefert werden. Die vergrößerte Bauform (Masse 1,6 kg) macht die Objektive auch sehr teuer (vorgesehener Preis 388 ¥). Ein Vertrieb in Deutschland ist erst einmal nicht vorgesehen.
Tabelle 1: Abbildungskennlinie, Werte aus [4]
  Einfalls-
winkel
θ [°]
Bildradius r [mm]
Entaniya
Fisheye 200
HAL 3.6

3,6mm F/4
Entaniya
Fisheye 200
HAL 5.0

5,0mm F/5.6
Entaniya
Fisheye 250
HAL 2.3

2,3mm F/2,8
Entaniya
Fisheye 250
HAL 3.0

3,0mm F/2,8
Entaniya
Fisheye 250
HAL 3.6

3,6mm F/4
Entaniya
Fisheye 250
HAL 4.3

4,3mm F/2.8
5 0,3183 0,43927 0,202 0,2648 0,3158 0,3772
10 0,6365 0,878353 0,4039 0,5295 0,6315 0,7542
15 0,9544 1,317063 0,6055 0,7939 0,9469 1,1309
20 1,2719 1,755214 0,8068 1,0579 1,2619 1,5069
25 1,5888 2,192615 1,0075 1,3214 1,5762 1,8822
30 1,9050 2,62907 1,2076 1,5841 1,8898 2,2565
35 2,2204 3,064364 1,407 1,8461 2,2025 2,6297
40 2,5346 3,498256 1,6055 2,107 2,5141 3,0015
45 2,8476 3,930451 1,803 2,3669 2,8245 3,3717
50 3,1591 4,360575 1,9993 2,6255 3,1335 3,7402
55 3,4687 4,788134 2,1944 2,8826 3,4409 4,1066
60 3,7758 5,212458 2,3879 3,138 3,7463 4,4706
65 4,0799 5,632637 2,5798 3,3914 4,0495 4,8318
70 4,3800 6,047442 2,7696 3,6425 4,35 5,1897
75 4,6748 6,455248 2,9571 3,8908 4,6473 5,5435
80 4,9630 6,853979 3,1417 4,1356 4,9405 5,8924
85 5,2425 7,24113 3,3228 4,3761 5,2288 6,2353
89,8
89,8
 
5,5009
 
7,599381
3,4926
 
 
4,6019
5,4996
 
 
6,5572
95 5,7682 7,970221 3,671 4,8396 5,7847 6,8961
100 6,0134 8,309741 3,8357 5,0596 6,0488 7,2098
105 3,9923 5,2692 6,3006 7,5088
110 4,1391 5,4662 6,5372 7,7897
115 4,2744 5,6481 6,7559 8,0492
120 4,3967 5,8126 6,9535 8,2836
125 4,5053 5,9578 7,1271 8,4894
   grün: von Entaniya berichtigt (festgestellt am 20. Februar 2018)
   vorher: 89,8° war auf 90° gerundet und 7,2098 mm war auf 7,0298 mm vertippt
 

Entaniya Fisheye 250° MFT 3,6mm f/4   rückseitiger Überstand Ø25mm x 0,7mm
Entaniya Fisheye 250° MFT ,0mm f/2,8     rückseitiger Ansatz Ø23mm x 2,8mm
Entaniya Fisheye 250° MFT 2,3mm f/2,8     rückseitiger Ansatz Ø25mm x 5,3mm

Das Entaniya Fisheye 250 MFT 3.6 eignet sich für alle MFT-Kameras. Um das Entaniya Fisheye 250 MFT 2.3 und das Entaniya Fisheye 250 MFT 3.0 in der Größe klein zu halten, hat die Rückseite einen Ansatz. Das macht es unmöglich, diese Objektive an Kameras, wie OLYMPUS OM-D E-M5(Mark1), OLYMPUS PEN E-PL6/E-PL5 und OLYMPUS PEN E-PM1/E-PM2 anzubringen, weil der Bildsensor das Einsetzen blockiert. Alle drei Objektive können an der Blackmagic Micro Studio Camera 4K angebracht werden, die einen kleineren Sensor (13,056 x 7,344 mm) hat.

Das Objektiv hat keine Einstellmöglichkeiten für Entfernung (Fixfokus) und Blende (Festblende) und kein Interface zur Kamera. Es kann nur für spiegellose Kameras verwendet werden. Unter Umständen muss sogar der interne Filter vor dem Sensor ausgebaut werden, um die erforderliche Tiefe für das Einsetzen des Objektivs zu bekommen.

Für Kunden, die gerne mehrere Brennweiten-Ausführungen haben möchten, gibt es ein "Rear group kit" (Rückgruppen-Bausatz). Damit lässt sich das Objektiv für jede der drei Brennweiten umbauen. Das ist wesendlich günstiger, als mehrere Objektive zu erwerben. Der Bausatz enthält auch Aperturblenden-Scheiben, um das Objektiv für eine kleinere Blendenöffnung umzubauen.

2018

Im Laufe eines Jahres hat Entaniya das System weiter ausgebaut. Das Objektiv besteht jetzt aus einer Frontgruppe, einer Rückgruppe mit wechselbaren Apertur-Blendenscheiben, Graufiltern und einem Fokus-Feststellring, sowie einem Kamera-Adapter. Für das 250° Fischauge ist eine 4,3-mm-Rückgruppe hinzugekommen. Sie ist die kostenintensivste.
Es gibt jetzt nicht nur MFT-, sondern auch C-, E-, EF- und RED-Kamera-Adapter in Abhängigkeit von der konkreten Rückgruppe. Deshalb wurde die Bezeichnung von "Entaniya Fisheye 250 MFT {Brennweite}" in "Entaniya Fisheye HAL {Bildwinkel} {Brennweite} {Adapter}" geändert.

HAL bedeutet High Angle Lens. Diese Bezeichnung wurde auch in Anlehnung an den Film 2001: A Space Odyssey (deutscher Titel "2001: Odyssee im Weltraum") gewählt. Das Entaniya Fisheye sieht so ähnlich aus, wie das Auge des Supercomputers HAL 9000 auf dem Raumschiff Discovery One.

Neu sind die 200° Fischaugen "Entaniya Fisheye HAL 200 3.6 C(?)/E/MFT" und "Entaniya Fisheye HAL 200 5.0 E/EF". Sie sind kostengünstiger, als die 250° Fischaugen.

Entaniya hat Werte der Abbildungsfunktionen dieser Objektive veröffentlicht (siehe Tabelle 1). Das ermöglicht es, passende Abbildungsfunktionen zu ermitteln.

Dafür wurde das Berechnungsprogramm FEPOLYN in der QBASIC-Sprache geschrieben und wechselseitig als FEPOLYN.BAS mit QBASIC unter MS-DOS 6.22 und mit QB64[5][6] (kompiliert als "FEPOLYN.EXE") unter Windows 10 (64 Bit) editiert und getestet. Das Programm wurde parallel mit dem Schreiben dieser Seite weiterentwickelt.

   Inhaltsverzeichnis

  1. Polynom
    1. Alle Punkte auf einmal
    2. Faule Tricks
    3. Mehrere Auswahlsätze
    4. Interpolationskurve
    5. Tschebyschow-Modus
    6. Tschebyschow modifiziert
    7. Die anderen Entaniya Fisheyes HAL
      1. Entaniya Fisheye HAL 200 3.6 E/MFT
      2. Entaniya Fisheye HAL 200 5.0 E/EF
      3. Entaniya Fisheye HAL 250 2.3 E/MFT
      4. Entaniya Fisheye HAL 250 3.0 C/E/MFT
      5. Entaniya Fisheye HAL 250 4.3 E/EF
    8. Zusammenfassung der vorgeschlagenen Polynome
    9. Parameter für Panorama-Tools
  2. Funktionen
  3. Einzelnachweise

Polynom

Abbildungsfunktionen sind zentralsymmetrisch. Werden sie als Polynom dargestellt, bestehen sie nur aus ungeraden Gliedern. Aus n Tabellenwerten ergibt sich ein mit f multipliziertes normiertes Abbildungs-Polynom mit a_1 = 1 (links vom Pfeil), das in ein gewöhnliches Polynom (rechts vom Pfeil) umgewandelt wird. Dabei müssen auch die in GRAD (DEG) vorliegenden Winkelwerte θ in Bogenmaß (RAD) umgewandelt werden.
r=f*Summe(i=0 to n-1,a_(2i+1)*theta^(2i+1)) -> y=Summe(i=0 to n-1,A_i*x^i)
Die Brennweite ist nicht bekannt, so dass erst einmal die nicht-normierten Koeffizienten A_i=f*a_(2i+1) berechnet werden. A0 wird dann zur Brennweite f, mit der die normierten Koeffizienten aus den errechneten Koeffizienten bestimmt werden können. Mit y=r/theta wird das Polynom gerade, so dass die Substitution x=theta^2 möglich ist. Mit der Verwendung von y darf θ oder x nicht Null sein.

Der Polynomgrad ist die höchste Potenz aller Polynomglieder. Das Ausgangspolynom hat bei n Gliedern den Grad 2n - 1, nach der Substitution y=r/theta den Grad 2n - 2 und nach der Substitution x=theta^2 den Grad n - 1. Die Anzahl der Polynomglieder bleibt aber gleich, so dass es sinnvoller ist, nur von der Gliedzahl statt vom Polynomgrad zu reden.

Alle Punkte auf einmal

Die Berechnung erfolgte zuerst für das Entaniya Fisheye 250 MFT 3.6 (jetzt Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED), weil es sich für alle MFT-Kameras eignetete. Aus 25 Tabellenwerten (erste und letzte Spalte von Tabelle 1) werden über eine Matrix 25 Koeffizienten berechnet. Das erledigt das Programm FEPOLYN.EXE. Die Bogenmaß-Umrechnung ist inbegriffen.

Screenshot 1
Angezeigt werden die Koeffizienten A0...A24 des Rechenpolynoms und die Koeffizienten a1...a49 der normierten Abbildungsfunktion. Berechnet wurden die Brennweite f aus A0 und die Kennzahlen N(0), L(0), Z(0) aus a3.
Es fallen die extrem großen Koeffizienten mit den alternierenden Vorzeichen auf. Bei Reihenentwicklungen von Funktionen sind die Beträge der Glieder nach a_1 üblicherweise kleiner als 1 und werden mit steigender Potenz noch kleiner.
Screenshots 2 und 3
Angezeigt wird eine Liste mit den Einfallswinkeln der Tabelle und den dazugehörigen Werten: aus Polynom berechneter Bildradius (Istwert), Bildradius aus Tabelle (Sollwert) und Abweichung und prozentualer Fehler zwischen Ist- und Sollwert. Gesamtfehlerkennwerte werden aus allen Einzelfehlern berechnet.
Die Liste der Bildradius-Werte zeigt im unteren und mittleren Bereich bis 105° eine gute Übereinstimmung mit den Tabellenwerten. Der vorletzte Wert (120°) weicht deutlich und der letzte (125°) stark ab.
Screenshot 4
Ein Test mit Zwischenwerten im oberen Bereich zeigt oberhalb 90° extreme Ausschläge bis ins Millionenfache.
FEPOLYN.EXE, Screenshots 1 2 3 4 5 6 7 <- da umschalten
Screenshot 5
Das Diagramm zeigt deutlich den welligen Verlauf bei Winkeln von über 85°. Die letzten vier Punkte mit Einfallswinkeln der Tabelle weichen im Diagramm sichtbar ab, der letzte stark. Werte außerhalb des Diagrammbereiches werden durch Punkte am oberen und unteren Rand gekennzeichnet. Die rote Linie repräsentiert das Ideal eines absolut linearen Verlaufs. Die blaue Kurve ist eine Interpolation entsprechend Abschnitt 1.4. Wird der QBASIC-Interpreter unter MS-DOS statt QB64 verwendet, können die letzten Punkte bei 125° abweichen. Das mag an einer unterschiedlichen Struktur der Gleitkommazahlen liegen, die sich in Extremfällen wie hier, zeigen kann.
Screenshot-Montage 6
Es wird vermutet, dass die Abweichungen durch das Runden auf 4 Stellen zu der Welligkeit führt. Die selben Werte wurden probeweise auf drei, zwei und eine Dezimalstelle gerundet. Die sich ergebenen Diagramme (mit der Dezimalstellenzahl beschriftet) wurden mit dem Diagramm aus Screenshot 5 kombiniert und bestätigen die Vermutung. Man ahnt, dass auch 5 oder 6 Nachkommastellen das Problem nicht lösen würden.
Screenshot-Montage 7
Die Polynome werden, wie vorher unter Abschnitt Polynom zu lesen, mit x und y statt mit θ und r berechnet. Auch hier unterscheiden sie sich durch die vier-, drei-, zwei- und einstelligen θ-Werte. Die x-y-Diagramme sind entsprechend skaliert. Dabei fällt auf, dass die niedrigen x-Werte (links) sehr eng zusammenrücken. Auch das vergrößert die Welligkeit. So wie ein Flügelschlag eines Schmetterlings einen Orkan auslösen könnte, so wird sich eine geringste Anfangswelligkeit milliardenfach am Ende der Kurve auswirken.

Der höchste Einfallswinkel ist laut Tabelle 125°. Das sind im Bogenmaß 2,1817... RAD. Bei der Berechnung des Polynoms ist die höchste Potenz 49. Dann ist θ49 ≈ 39 864 071 154 244 596,7178 (etwa 39 Billiarden). Die Gleitkommazahlen von Typ DOUBLE können von dieser Zahl noch nicht einmal alle Vorkommastellen auflösen. Damit ist erklärbar, dass die Kurve die Tabellenwerte nicht bis zu 125° genau treffen kann.

Das Problem sind die zu vielen Punkte, die den Polynomgrad in einen instabilen Bereich hochtreiben.
Zitat aus dem Wikipedia-Artikel  Fischaugenobjektiv, Abschnitt: Mathematische Modelle,[1b] Punkt: Polynom
Mit steigender Punktzahl wird das Polynom immer welliger. In der Praxis werden Polynome mit mehr als 5 Gliedern kaum noch eingesetzt.[7] Es besteht die Gefahr einer entarteten Lösung mit riesigen Wellenbergen und -tälern zwischen den genau gebildeten Tabellenwerten.
Bei Abbildungsfunktionen sind unter Umständen auch einige Glieder mehr als 5 erforderlich, wenn man eine pixelgenaue Nachbildung haben will. Dann sollte das Polynom aber optimiert sein (siehe folgende Abschnitte).

Alle Punkte auf einmal verwendet man am besten, wenn nur wenige (3...8) Punkte vorliegen, z. B. beim Auswerten von Fotos einer Testanordnung mit bekannten Winkeln zwischen Objektdetails. Wenn möglich, wählt man die Winkel an der Testanordnung nach den Regeln für ein optimiertes Polynom (siehe folgende Abschnitte).

Faule Tricks

Die Abbildungsfunktion ist zwar zentralsymmetrisch; aber man benutzt üblicherweise nur den positiven Ast. Da könnte man auf die Zentralsymmertrie verzichten, indem man auch die gerade Koeffizienten hinzuzieht.

|r|=f*Summe(i=0 to n-1,a_(2i+1)*|theta|^(i+1)) -> y=Summe(i=0 to n-1,A_i*|theta|^i) mit A_i=f*a_(i+1) und y=|r|/|theta|
Bei gleicher Gliederzahl verringert sich der Polynomgrad (die höchste Potenz des Polynoms) von 49 auf 25. Dann ist θ25 ≈ 2,181725 ≈ 294 906 615,4927 (etwa 295 Millionen). Damit müsste ein präzises Polynom möglich sein.

Screenshot 8
Testrechnungen zeigen eine starke Welle am oberen, und eine sehr störende Welle auch am unteren Ende der Abbildungsfunktion. Die Welle im oberen Bereich beginnt erst später bei 115°, aber dennoch unterhalb des maximalen Winkels des Objektivs. Die untere Welle beginnt mit einem viel zu starken Anstieg, was in dem Bereich einer vielfach höheren Brennweite (links: Punkte der roten Linie) entspricht, und wie eine Lupe in Bildmitte wirken würde. Die blaue Kurve ist eine Interpolation entsprechend Abschnitt 1.4.
FEPOLYN.EXE, Screenshots 8 9
Screenshot 9
Ein aus den ersten zwei Punkten extrapolierter Nullwert (θ = 0°, y0) in der x-y-Substitution glättet die untere Welle, ohne sie ganz zu unterdrücken. Dabei erhöht sich der Polynomgrad und die obere Welle wird leicht größer.

Die hier eingeführte Aktivierung eines Nullwertes ist auch für weitere Polynom-Ermittlungs-Methoden als Option möglich. Hier ist sie von Vorteil - bei weiteren Methoden eher nicht.

Eine eigentlich ungerade Funktion durch ein Polynom mit ungeraden und geraden Gliedern zu ersetzen ist eine unsaubere Arbeitsweise (DIRTY-Modus im Programm) und sollte deshalb nicht auf weitere Verbesserungsmöglichkeiten untersucht werden.

In den Panoramatools von Helmut Dersch gibt es einen Correct-Baustein, der ein Polynom mit leider auch geraden Gliedern verwendet. Panoramatools haben einen Standard geschaffen, so dass viele Panorama-Anwendungen, wie z. B. PTGui, die Correct-Parameter kritiklos übernehmen. Somit werden wir die unsaubere Arbeitsweise später noch einmal aufgreifen.

Mehrere Auswahlsätze

In der für das Polynom aufbereiteten x-y-Darstellung stehen die Punkt-x-Werte links ganz dicht beieinander und rechts ziemlich auseinander. Es sollen Punkte ausgesucht werden, die untereinander einen gleichen x-Abstand haben. Da sich am rechten Rand die größten y-Änderungen ergeben, sollen die letzten 2 Punkte unbedingt verwendet werden. Der Abstand dieser Punkte ist der größte und soll Maßstab für die Auswahl der restlichen Punkte sein.

Grafik 10
Schema für die Bildung von Auswahlsätzen: Die Punkte (im x-y-Kennliniendiagramm als Punkt dargestellte Werte aus Tabelle 1) werden nachfolgend als x-Werte bezeichnet, da sie in dieser Grafik nicht als Punkt, sondern als Strich dargestellt sind. Auf dem unteren grauen Streifen zeigen die blauen Striche die x-Werte, die mit der Substitution x=theta^2 aus den θ-Werten der Tabelle 1 berechnet wurden. Der Abstand zwischen den letzten zwei x-Werten passt 12,7551 mal in den Abstand zwischen x = 0 (wo es keinen Tabellenwert dazu gibt) und dem letzten x-Wert. Gerundet sind das 13 Intervalle, die mit weißen Strichen gekennzeichnet sind. Der erste Intervallstrich (der nullte bei x = 0 ist tabu) ist rot und bestimmt den ersten zu nehmenden x-Wert, der von allen x-Werten der siebente ist.
Die Ordnungsnummer 7 des x-Wertes bestimmt die Anzahl der Auswahlsätze. Der erste Auswahlsatz beginnt mit x-Wert(1), der zweite mit x-Wert(2) ... und der letzte mit x-Wert(7). Damit ist sichergestellt, dass am Anfang kein x-Wert ausgelassen wird. Die Auswahlsätze sind durch sieben übereinander liegenden Reihen mit grünen Strichen repräsentiert. Innerhalb eines Auswahlsatzes wird der Abstand zwischen erstem und letztem grünen Strich mit weißen Punkten in gleiche Abstände aufgeteilt. Die weißen Punkte bestimmen die zu verwendenden x-Werte (grüne Striche). Die Zugehörigkeit x-Wert-zu-weißer-Punkt ergibt sich durch den kleinstmöglichen Abstand und ist durch einen dunkelgrünen Zwischenraum gekennzeichnet. Jeder Auswahlsatz enthält 13 x-Werte.
Aus jedem Auswahlsatz wird ein Polynom gebildet. Das endgültige Polynom wird durch Mittelwertbildung aus den 7 Auswahlsatzpolynomen errechnet.
Screenshots 10 11 12
Screenshot 11
Das Polynom mit 13 Gliedern muss nicht das beste sein. Das Programm FEPOLYN testet schon vor der Auswahl des Polynomgrades, wie oft die Punkte von den Auswahlsätzen verwendet werden. Getestet wird von 2 Gliedern aufsteigend bis zum Auftreten eines Fehlers (innerhalb eines Auswahlsatzes zweimal auf einen Punkt zugreifen). Für jede Gliedzahl ist zu sehen, wie oft jeder der 25 Punkte verwendet wird. Das wird ampelartig durch Farben gekennzeichnet:
Rot: Mindestens der vorletzte Punkt wird nicht verwendet.
Gelb: Der vorletzte Punkt wird verwendet, aber mindestens ein anderer nicht.
Grün: Alle Punkte werden verwendet.
Grundsätzlich werden die ersten Punkte einmal und der letzte Punkt jedesmal (Anzahl Auswahlsätze) verwendet.
Die Gliedzahlen sind bei der Verwendung von mehreren Auswahlsätzen geringer, als bei allen Punkten auf einmal, und werden daher reduzierte Gliedzahlen genannt.
Screenshot-Montage 12
Es wurden die Kennlinien aller möglichen reduzierten Gliedzahlen überlagert. Abgesehen von Gliedzahl 2, erfüllen alle anderen zumindest visuell die Punktvorgaben der Tabelle. Gliedzahl 6 und 7 sind hier bei der vorliegenden Auflösung deckungsgleich. Höhere Gliedzahlen führen zu einer stärkeren Abknickung nach dem letzten Punkt. Das kann die Verwendbarkeit der Polynome einschränken, wenn z. B. die Messpunkte nicht bis an den Bildfeldrand gehen und noch ein Kennlinienstück rechts vom letzten Punkt benötigt wird.

Tabelle 2 enthält die zur Beurteilung wichtigsten Größen. Die Stellenzahl der Abweichung wurde so hoch gewählt, dass keine Werte mit Null auftreten. Die Ampelfarben kennzeichnen die Rate der verwendeten Tabellenwerte (siehe auch Screenshot 11).

Tabelle 2: Kennlinienfehler mit FEPOLYN
Glied-
zahl
Abweichung in mm größtes
Polynomglied
nach a3
Durch-
schnitt
effektiv Kleinstwert Größtwert Bereichs-
mitte
    2    -0,02574 0,04917 -0,09895 0,01732 -0,04082 nicht vorhanden
    3    -0,00081 0,00589 -0,01154 0,00843 -0,00155 a5 = -0,003936
    4    0,00007 0,00076 -0,00063 0,00240 0,00089 a7 = -0,00053  
    5    0,00006 0,00026 -0,00034 0,00069 0,00017 a5 =  0,002105
    6    -0,00001 0,00004 -0,00011 0,00005 -0,00003 a5 = -0,000253
    7    -0,00000 0,00003 -0,00008 0,00007 -0,00000 a5 = -0,000287
    8    -0,00001 0,00005 -0,00019 0,00010 -0,00004 a5 = -0,001084
    9    -0,00003 0,00006 -0,00017 0,00004 -0,00006 a5 = -0,000465
   10    0,00010 0,00025 -0,00025 0,00070 0,00023 a7 = -0,027622
   11    -0,00003 0,00010 -0,00029 0,00006 -0,00011 a9 = -0,034991
   12    -0,00015 0,00036 -0,00104 0,00010 -0,00047 a9 = -0,123218
   13    -0,00002 0,00021 -0,00052 0,00043 -0,00005 a9 =  0,403078
   14    0,00089 0,00209 -0,00024 0,00060 0,00289 a9 =  1,510266
   15    0,00019 0,00044 -0,00018 0,00126 0,00054 a11=  1,709172
rot
Mindestens der vorletzte Punkt wird nicht verwendet.
gelb
Der vorletzte Punkt wird verwendet, aber mindestens ein anderer nicht.
grün
Alle Punkte werden verwendet.
Durchschnitt
(Δr1 +...+ Δr25) / 25. Beschreibt die Gesamtlage des Polynoms (zu hoch oder niedrig).
effektiv
Wurzel((Δr12 +...+ Δr252) / 25). Beschreibt vorzeichenfrei die allgemeine Abweichung des Polynoms.
Kleinstwert
von allen Abweichungen der negativste Wert.
Größtwert
von allen Abweichungen der positivste Wert.
Bereichsmitte
Mitte zwischen dem negativsten und dem positivsten Wert.
größtes Polynomglied nach a_3
a_1 ist immer eins und a_3 wird von der Abbildungsfunktion bestimmt und kann Werte von -1/6 ... +1/3 annehmen. Erst ab a_5 geben die Polynomglieder Aufschluss über die Qualität des Polynoms.
Screenshots 13 - 26: Gliedzahl 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Absolute Abweichung des Polynoms von der Interpolationskurve:
Y-Maßstab 20 000 Pixel / mm entspricht 2 Pixel für die vierte Nachkommastelle (Rundungsfehler 1 Pixel). Ein Bildpixel eines 8K-Bildes (32 Megapixel) entsprechen etwa 37 Diagrammpixel.

a_5 sollte von den a_3-Nachfolgern den größten Betrag haben. Sollten weitere Polynomglieder mit steigender Potenz im Betrag größer werden, bahnt sich eine unerwünschte Welligkeit an. Überschreiten sie deutlich die Beträge von a_5, sollte man sich für dieses Polynom lieber nicht entscheiden. Schaut man sich die größten Polynomglieder an, ist ein Anstieg ab Gliedzahl 10 zu bemerken, wo auch |a7| > |a5| ist. Bei Gliedzahl 4 gilt das zwar auch, aber |a7| ist hier nicht groß. Es ist zufällig |a5| sehr klein, sonst stände a7 nicht da. Und somit sprechen die Koeffizienten nicht gegen die Gliedzahl 4.

Ein Bildsensor ist in Pixel eingeteilt und die Abbildungsfunktion muss nur so genau sein, dass das richtige Pixel ausgewählt werden kann. Daher ist nicht der relative Fehler, sondern die absolute Abweichung entscheidend. Sie wird in den Diagrammen der Screenshots 13...26 gezeigt. Bei der Gliedzahl 4 würde bei einer 8K-Auflösung die Abweichung im oberen Bereich etwa 1 1/2 Pixel betragen. Das spricht bei höchsten Genauigkeitsansprüchen gegen die Gliedzahl 4. Es wären Gliedzahlen von 5 bis 11 möglich, wobei 8, 10 und 11 vom Aufwand nicht zu empfehlen sind, und 5 schon ausreichend wäre.

Die effektiven Abweichungen sind bei den Gliedzahlen 6 bis 9 am niedrigsten. Da höhere Gliedzahlen mehr Welligkeit produzieren, und den Rundungssprüngen unnötigerweise genauer folgen, sowie mehr Rechenaufwand verursachen, sollte man davon die niedrigste Gliedzahl wählen. Bei den effektiven Abweichungen gibt es Ausreisser, und bei den Polynomkurven vom Screenshot 12 fällt auf, dass sie oberhalb 125° mal nach oben und mal mach unten umschlagen. Das liegt vermutlich an der Methode, wie die Auswahlsätze gebildet werden. Je nach Gliedzahl werden die einzelnen Punkte unterschiedlich oft verrechnet und unterschiedliche Punkte ausgelassen. Zukünftig könnte man die Auswahlmethoden verbessern. Es fällt aber angesichts der Ampelfarben auf, dass die besten Ergebnisse bei niedrigen Gliedzahlen erzielt werden, obwohl nicht alle Punkte für das Polynom verwendet wurden und die Abweichungsberechnung trotzdem über alle Punkte lief.

Eine weitere Variation ist die Aktivierung eines Nullwertes. Der Nullwert ist der Wert der Interpolationskurve bei θ = 0, sozusagen der nullte Punkt. r(θ=0) ist zwar Null, aber y(x=0) ist vom Wert her die Brennweite, bzw. A0 eines um ein Glied erhöhten Polynoms. Von der allgemeinen Welligkeit her ist das mit dem Nullwert erweiterte Polynom etwas schlechter, als das nächsthöhere Polynom ohne Nullwert. Die Nullwertaktivierung ist im Normalfall nicht zu empfehlen, aber eine Option für spezielle Untersuchungen.

Es soll nun ein 6-gliedriges Polynom für hohe Genauigkeit ermittelt werden. Die Software FEPOLYN bestimmt automatisch die Koeffizienten für die reduzierte Gliedzahl 6. Die Koeffizienten werden in voller Stellenzahl angezeigt, wobei abhängig von Pixelauflösung, Endwinkel und Potenz des betreffenden Gliedes bezüglich der Abbildungsfunktion weniger Stellen erforderlich sind.
Screenshot 27
Brennweite und Koeffizienten werden mehrfarbig angezeigt. Der für die Genauigkeit erforderliche Teil wird weiß oder gelb gezeigt. Wenn vorhanden, muss auch der Exponent in Grün berücksichtigt werden. Für das Rechnen mit reduzierter Stellenzahl gibt es eine Eingabemöglichkeit für Koeffizienten. Es wird weiterhin mit mehreren Auswahlsätzen gerechnet, die sich von Koeffizient zu Koeffizient verkürzen. Die bereits eingegebenen Koeffizienten wären in allen vollen Auswahlsätzen gleich. Sie werden in den verkürzten Auswahlsätzen verrechnet. Es wird ein optimaler Wert vorgeschlagen, der bestätigt, oder mit einem eigenen Wert überschrieben wird. Beim Übernehmen des weiß markierten Bereiches muss abhängig von den nachfolgenden Ziffern die letzte Stelle gegebenenfalls aufgerundet werden. Der eingegebene (gerundete Vorgabe-)Wert würde zu einer Abweichung führen. Die Neuberechnung nach jeder Eingabe kompensiert diese Abweichung durch eine angepasste Vorgabe für den nächsten Wert. Man erhält ein idividuell auf die Rundungssituation angepasstes Polynom. Auch wenn man nur die Vorgaben bestätigt, ändern sich beim ersten mal die Koeffizienten bei leicht verbesserter Genauigkeit.
Screenshots 27 28 29 30
Screenshot-Montage 28
Mit den im Screenshot 27 dokumentierten Koeffizienten entsteht die weiße Kurve des Abweichungsdiagramms. Der graue Hintergrundstreifen markiert die Breite eines Pixels für ein 8K/32MP Bild (3840 Pixel von Bildmitte bis 125°). Den Einfluss einer geringeren Stellenzahl zeigen die farbigen Kurven (grün: eine Stelle weniger, rot: eine Stelle weniger, aber Brennweite auf- statt abgerundet, blau: zwei Stellen weniger). Bei nachfolgenden Polynomen ist θ in Radiant umzurechnen.
6 Glieder:
r = 3,6194 mm * (θ - 0,01017 θ3 - 0,000256 θ5 + 0,000093 θ7 - 0,0001943 θ9 + 0,00001903 θ11),   für höchste Ansprüche
r = 3,619 mm * (θ - 0,0099 θ3 - 0,00049 θ5 + 0,00018 θ7 - 0,000209 θ9 + 0,00002 θ11),   1 Stelle weniger
r = 3,62 mm * (θ - 0,0105 θ3 - 0,000178 θ9 + 0,0000179 θ11),   1 Stelle weniger, Brennweite aufgerundet, zwei Glieder sind Null
r = 3,62 mm * (θ - 0,011 θ3 + 0,0006 θ5 - 0,0003 θ7 - 0,00011 θ9 + 0,000012 θ11),   2 Stellen weniger: zu ungenau
Screenshot-Montage 29
Der graue Hintergrundstreifen markiert die Breite eines Pixels für ein 8K/32MP Bild (3840 Pixel von Bildmitte bis 125°).
5 Glieder: für hohe Ansprüche
r = 3,6213 mm * (θ - 0,01227 θ3 + 0,00217 θ5 - 0,001071 θ7 + 0,0000523 θ9)
r = 3,621 mm * (θ - 0,0121 θ3 + 0,00206 θ5 - 0,00104 θ7 + 0,000049 θ9),   eine Stelle weniger
Screenshot-Montage 30
Der graue Hintergrundstreifen markiert die Breite eines Pixels für ein 8K/32MP Bild (3840 Pixel von Bildmitte bis 125°).
4 Glieder: für normale Ansprüche, Fehler: 1 Pixel
r = 3,6181 mm * (θ - 0,00987 θ3 + 0,000297 θ5 - 0,000527 θ7)
r = 3,618 mm * (θ - 0,0098 θ3 + 0,00027 θ5 - 0,000526 θ7),   Brennweite und Glied 2 und 3 eine Stelle weniger, letztes Glied durch Probieren optimiert

Die eben angeführten Polynome beschreiben das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED mit ausreichender (außer dem blauen Polynom) Genauigkeit. Für die Richtigkeit übernehme ich jedoch keine Gewähr. Die oben angeführten Polynome wurden erstellt, ehe der Tschebyschow-Modus programmiert wurde. Es wird empfohlen, die Polynome aus dem entsprechenden Abschnitt weiter unten zu übernehmen.

Die Methode "Mehrere Auswahlsätze" ist inzwischen überholt. Die Methode war solange sinnvoll, wie noch keine Interpolationskurve programmiert war, die wiederum eine Voraussetzung für den Tschebyschow-Modus ist.

Interpolationskurve

Genaue Punktwerte kann man theoretisch mit einem Polynom über alle Punkte erreichen, sofern das Polynom noch stabil ist. Weil die Polynomkurve mehr oder weniger oszilliert, sind keine genauen Zwischenwerte möglich. Genauer ist eine Splineinterpolation.[8] Eine Spline besteht aus Polynomstücken zwischen den Punkten, an denen Sie versatz-, knick- und ruckfrei zusammenstoßen. Da Abbildungsfunktionen ungerade sind, wäre es eine unsaubere Arbeitsweise, die aus Polynomstücken bestehende Spline direkt über die Punkte zu legen. Deshalb wird die Spline in der x-y-Ebene gebildet. Eine Spline wird üblicherweise mit einem Gleichungssystem mit 4(n-1) Unbekannten berechnet.

Aus der Überblendung von Parabelstücken kann auch eine Interpolationskurve gewonnen werden, die einer Spline sehr ähnlich, aber wesendlich einfacher (n-2 Parabelgleichungen mit je 3 Unbekannten und n-3 einfache Überblendgleichungen) zu berechnen ist. Die Interpolationskurve ist nicht unbedingt ruckfrei, und die Steigungen an den Punkten werden nur von den beiden Nachbarpunkten statt von allen restlichen Punkten beeinflusst. Abbildungsfunktion von optischen Systemen haben keine wilden Richtungsänderungen, so dass auch keine merklichen Unterschiede zu einer echten Spline zu erwarten sind.

Die θ-r-Punkte werden in x-y-Punkte transformiert. Es gelten die schon anfangs verwendeten Substitutionen y = r / θ und x = θ2. Ein Parabelstück erstreckt sich über die drei Punkte p[i-1], p[i] und p[i+1]. Dessen Polynomkoeffizienten werden dem mittleren Punkt zugeordnet: y = b0[i] + b1[i] x + b2[i] x2 (entspricht r = b0[i] θ + b1[i] θ3 + b2[i] θ5)

Im Bereich i = 2...n-1 überlappen sich immer zwei Parabelstücke. Der mittlere Punkt der niedrigeren Parabel ist p[i] und der der höheren Parabel p[i+1]. Punkte dazwischen sind eine Überblendung von der niedrigeren zur höheren Parabel. Es dominiert die Parabel, deren mittlerer Punkt dem Zwischenpunkt näher ist: y = y[i] * (x[i+1] - x) / (x[i+1] - x[i]) + y[i+1] * (x - x[i]) / (x[i+1] - x[i])
Die weiche Überblendung garantiert, dass die Steigungen an den mittleren Punkten der Parabelstücke erhalten bleiben und die Änderung der Steigung stetig erfolgt.

Beispiel: 7-Punkte-Interpolationskurve im x-y-Diagramm
7 Punkte ergeben 5 Parabeln:
Parabel 1 (rot)    p1, p2, p3
Parabel 2 (grün) p2, p3, p4
Parabel 3 (blau)  p3, p4, p3
Parabel 4 (rot)    p4, p2, p6
Parabel 5 (grün) p5, p6, p7
5 Parabeln ergeben 4 Überblendungen:
Überblendung 1 (gelb)        Parabel 1 nach Parabel 2, zwischen p2 und p3
Überblendung 2 (zyan)       Parabel 2 nach Parabel 3, zwischen p3 und p4
Überblendung 3 (magenta) Parabel 3 nach Parabel 4, zwischen p4 und p5
Überblendung 4 (gelb)        Parabel 4 nach Parabel 5, zwischen p5 und p6
Die Interpolationskurve setzt sich aus 2 Parabeln und 4 Überblendungen zusammen:
x=0 bis p2: Parabel 1 (rot)
p2 bis p3:   Überblendung 1 (gelb)
p3 bis p4:   Überblendung 1 (zyan)
p4 bis p5:   Überblendung 1 (magenta)
p5 bis p6:   Überblendung 1 (gelb)
ab p6:         Parabel 5 (grün)

Die Überblendung zweier Parabeln kann zu einem neuen Polynomstück zwischen den Punkten p[i] und p[i+1] verrechnet werden. Damit wird auch der Grad eines Spline-Polynomstücks erreicht. Die Koeffizienten werden beispielsweise dem unteren Punkt zugeordnet: y = b0[i] + b1[i] x + b2[i] x2 + b3[i] x3 (entspricht r = b0[i] θ + b1[i] θ3 + b2[i] θ5 + b3[i] θ7) FEPOLYN kann diese Koeffizienten anzeigen (k=Koeffizienten ⇒ i=Interpolationskurve. Achtung: Die Koeffizienten sind sehr klein, weil mit Winkeln in Grad [DEG] statt in Radiant [RAD] gerechnet wird.). Die x-y-Kurve basiert auf zwei Parabelstücken von Null bis p[2] und von p[n-1] bis über p[n] hinaus, und kubischen Polynomstücken dazwischen. Mit der Umrechnung zurück in die θ-r-Ebene entsteht die Interpolationskurve der Abbildungsfunktion (blau in Screenshot 5 und weiteren Screenshots).

Vorteile: 1: Die Interpolationskurve trifft die Vorgabepunkte sehr genau, ist sehr glatt und bildet die Grundkurve, um die die Polynome oszillieren. Sie wird deshalb als Bezugslinie für Fehler, Abweichungen und weitere interne Berechnungen verwendet.
2. Die Interpolationskurve wird nach dem letzten Punkt mit der letzten Krümmung fortgeführt. Es gibt kein scharfes Wegbiegen, wie bei hochgradigen Polynomen.

Nachteile: 1. Die Interpolationskurve nimmt alle Schwankungen durch gerundete oder fehlerbehaftete Punktwerte in sich auf.
2. Die Fortführung der Interpolationskurve nach dem letzten Punkt scheint vom Anblick her plausibel. Mit Sicherheit wird sich dort die Krümmung ändern. Somit sind die Diagrammkurven in diesem Bereich nicht aussagefähig.
3. Für die Beschreibung der Kurve sind (5n - 8) Werte (für das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED sind es 117 Werte) erforderlich. Das ist ein unverhältnismäßiger Aufwand für die Weitergabe der Interpolationskurvendaten.

Statt der Weitergabe der Interpolationskurven ([4n - 6] Werte für [n - 1] Polynome plus [n - 2] Werte für die Stoßstellen zwischen den Polynomstücken und gegebenenfalls nochmal [n - 2] Werte für die Stoßstellen der inversen Interpolationskurve) empfielt sich die Weitergabe der 2n Quellpunktwerte (2 Zahlen pro Punkt), aus denen das Zielprogramm die Interpolationskurve rekonstruiert oder eine zur Interpolationskurve fast gleiche Spline erzeugt.

Nachfolgend werden die Interpolationskurven aller HAL-Objektivvarianten gezeigt. Die senkrechten Linien kennzeichnen die Einfallswinkel der Tabelle 1 (5°-Raster). Die weiße Linie kennzeichnet den einzigen abweichenden Einfallswinkel von 89,8° (anstatt 90°).

Screenshot-Montagen 31 32 33
Screenshot-Montage 31
Interpolationskurven für:
   Entaniya Fisheye HAL 200 5.0
   Entaniya Fisheye HAL 200 3.6
Screenshot-Montage 32
Interpolationskurven für:
   Entaniya Fisheye HAL 250 4.3
   Entaniya Fisheye HAL 250 3.6
   Entaniya Fisheye HAL 250 3.0
   Entaniya Fisheye HAL 250 2.3
Screenshot-Montage 33
Die gezeigten x-y-Kurven bestehen aus Polynomstücken. Umgerechnet in die θ-r-Darstellung werden daraus die Interpolationskurven der Screenshot-Montagen 31 und 32.

Tschebyschow-Modus

Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow[9] (*1821, †1894, frühere Transkription: Tschebyscheff) war ein russischer Mathematiker. Tschebyschow-Polynome erster Art[10] zeichnen sich durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Fehler bedeutet hier Welligkeit. Alle Wellen haben die gleiche Amplitude. Damit ist die größte Welle möglichst klein, nämlich wie die anderen Wellen. Die Nullstellen liegen an den Bereichsgrenzen sehr eng zusammen und in der Mitte weiter auseinander, so dass die flachen Wellen in der Mitte und die steilen Wellen am Rand gleich hoch sind.

Die im vorherigen Abschnitt beschriebene Interpolationskurve ermöglicht unabhängig von den Punkten beliebige Stützstellen. Die Stützstellen für die Polynomermittlung sollen entsprechend der Nullstellenverteilung der Tschebyschow-Polynome vorgegeben werden.

Grafik 34
Die spezielle Nullstellenverteilung der Tschebyschow-Polynome lässt sich mit einer trigonomischen Funktion leicht erzeugen oder wie folgt, konstruieren. Über die Nulllinie (rot) wird ein Halbkreis gezogen, der den zu nutzenden Bereich überspannt. Darauf werden Punkte gleichmäßig verteilt, so dass die Bogenlängen zum Rand halb so groß sind, wie die zwischen den Punkten (Bogenlängen im Verhältnis 0.5, 1, 1, ... 1, 0.5). Die Punkte werden senkrecht auf die Nulllinie projiziert.
Die Skalierung der Nulllinie zur  θ-Achse (weiße Linie)  wird mit der Potenz p eingestellt: X Nulllinie = θ p. Da das Polynom im x-y-System berechnet wird, werden die Stützstellen auf der Polynom-x-Achse (gelbe Linie) erzeugt. Für die x-Achse gilt die Skalierung x = θ 2. Bei p = 2 würde die Nulllinie direkt auf die Polynom-x-Achse übertragen werden, so dass das x-y-Polynom eine konstante Welligkeit hätte, was dann auch auf den relativen Fehler zutrifft. Durch die Pixeleinteilung des Sensors sollte die konstante Welligkeit eher im θ-r-Polynom auftreten. Bei p = 2 steigt sie von links nach rechts. Mit p (FEPOLYN: Tschebyschow-Potenz) kann man den Welligkeitsverlauf steuern. p = 3 wäre ein brauchbarer Wert.
Screenshot-Montage 35
... zeigt verschiedene Varianten des 25-gliedrigen Polynoms. Die Ziffern sind die Anzahl der nach dem Runden verbleibenden Nachkommastellen. In der Mitte sieht man die von Screenshot 6 übernommenden Polynomausreisser der Methode alle Punkte auf einmal".
Den Nutzen der Tschebyschow-Methode sieht man an den rechten Kurven, die mit p = 2 nun bis über den letzten Punkt hinaus gehen, und das sogar bei starker Rundung (blau: 1 Nachkommastelle, entspricht 1/10 mm).
Der frühe Ausreisser (links) entsteht, wenn man die Tschebyschow-Punkte direkt auf die Winkel abbildet (p = 1).
Screenshot 36
Bei einer Feinuntersuchung (Abweichungsdiagramm) wird die Funktion mit p = 2 an der rechten Seite leicht unruhig. Die Ursache sieht man im nächsten Schreenshot.
Screenshot 37
Die Koeffizienten werden mehrfarbig angezeigt. Der für die Genauigkeit erforderliche Teil wird weiß oder gelb gezeigt. Ein weißer Abschnitt ist die genau erforderliche Stellenzahl. Eine gelbe Mantisse hat die erforderliche Genauigkeit bei weniger, als den erforderlichen Stellen, weil weitere erforderliche Stellen Null sind und so entfallen. Wenn vorhanden, muss auch der Exponent in Grün berücksichtigt werden.
Eine dunkel-türkise Mantisse kennzeichnet, dass die Stellenzahl der Mantisse nicht ausreicht. Die Unruhe (Kurvenstreuung) im Screenshot davor kommt von den zu ungenauen Koeffizienten a31, a35, a37.
Screenshot 38
Mit p = 3 entstehen links kleine Wellen mit einer maximalen Amplitude von ca. ±½ Pixel. Das blaue Band entspricht in seiner Höhe einer Pixelbreite bei der 8K-Auflösung. In der nicht gezeigten Koeffizienten-Liste sind die Mantissenlängen ausreichend (alle weiß - keine dunkel-türkis).
Screenshot 39
Mit p = 2.5 ist die Kurve dann perfekt. Die sichtbare Restwelligkeit kommt von der Rundung der Meßpunkte auf vier Stellen. Eigentlich müsste die weiße Funktionslinie gerade sein, und die grünen Punkte (Kreuze) müssten entsprechend der Rundung in y-Richtung streuen. Da die ganz genauen Punktwerte nicht bekannt sind, kann man die grünen Punkte leider nicht an die richtige Stelle setzen. In der nicht gezeigten Koeffizienten-Listet sind die Mantissenlängen ausreichend (alle weiß - keine dunkel-türkis).

Das 25-gliedrige Polynom wurde hier ausführlich beschrieben, weil es die möglichen Extreme zeigt. Es sollte aber nie verwendet werden.

Screenshots 34 35 36 37 38 39 40 41
Screenshot-Montage 40
Mit einer Gliedzahl von 4 wurden verschiedene p-Werte probiert:
lila: p = 1, schafft nicht 125°
blau: p = 2, links ausgeglichen, rechts letzter Wellenberg zu hoch
grün: p = 3, die kleinste Welligkeit
dunkelgelb: p = 3.3, p kann auch Kommastellen haben. Mit p = 3.1 hätte man die günstigste Kurve.
rot: p = 4, Welligkeit nach links ansteigend und dort zu stark.
Der mittlere graue Streifen entspricht einer Pixelbreite bei 8K-Auflösung. Der rechte dunkelgraue Bereich sind Winkel über 125°, die das Entaniya-Fischauge nicht mehr abbilden kann.
Screenshot-Montage 41
Für das Rechnen mit manuell reduzierter Stellenzahl gibt es eine Koeffizienten-Eingabemöglichkeit. Es wird ein optimaler Wert vorgeschlagen, der bestätigt, oder mit einem eigenen Wert überschrieben werden kann. Beim Übernehmen des weiß markierten Bereiches des Vorschlags muss abhängig von den nachfolgenden Ziffern die letzte Stelle gegebenenfalls aufgerundet werden. Die Neuberechnung nach jeder Eingabe kompensiert die Rundungs-Abweichung durch eine angepasste Vorgabe für den nächsten Wert. Man erhält ein idividuell auf die Rundungssituation angepasstes Polynom.
Der mittlere graue Hintergrundstreifen markiert die Breite eines Pixels für ein 8K/32MP Bild. Der dunkelgraue breitere Streifen entspricht 9 Bildpixel (je 4 Bildpixel über und unter dem mittleren Streifen). Die Streifen gehen bis zum maximalen Einfallswinkel der Optik, der 125° beträgt.
3 Glieder, Vorgabewerte mit Tschebyschow-Potenz 2.88, braun
r = 3,6 mm * (θ + 0,00016 θ3 - 0,00409 θ5),   Abweichungsbereich 9 Bildpixel unsymmetrisch - zu ungenau. Durch individuelles Verschieben der Stützstellen könnte man den Verlauf symmetrisch machen und die Welligkeit ein wenig verringern.
4 Glieder, Vorgabewerte mit Tschebyschow-Potenz 3, magenta
r = 3,618 mm * (θ - 0,0095 θ3 + 0,00009 θ5 - 0,000501 θ7),   Abweichung gut ±½ Bildpixel - genau genug für praktische Anwendungen
5 Glieder, Vorgabewerte mit Tschebyschow-Potenz 2.5, cyan
r = 3,62 mm * (θ - 0,01172 θ3 + 0,00192 θ5 - 0,00103 θ7 + 0,0000502 θ9),   Abweichung ca. ±¼ Bildpixel - sehr genau
6 Glieder, Vorgabewerte mit Tschebyschow-Potenz 2, gelb
r = 3,6195 mm * (θ - 0,01031 θ3 - 0,000091 θ5 + 0,000016 θ7 - 0,0001786 θ9 + 0,00001787 θ11),   Abweichungen fallen durch die Schwankungen der auf 4 Stellen begrenzten Punktwerte nicht mehr auf - höchste Genauigkeit

Die eben angeführten Polynome beschreiben das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED mit ausreichender (außer dem brauen Polynom) Genauigkeit. Für die Richtigkeit übernehme ich jedoch keine Gewähr.

Tschebyschow-Polynome dienen der fehleroptimalen Nachbildung eines geraden Kurvenstücks. Da Abbildungsfunktionen gebogen sind, liefern die Stützstellen, die auf den Nullstellen der Tschebyschow-Polynome liegen, kein perfekt fehleroptimales Polynom. Eine Verbesserung ist durch die "Tschebyschow-Potenz" (Skalierungspotenz im Tschebyschow-Modus) genannte Potenz p möglich, die die Skalierung zwischen Winkeln und Tschebyschow-Punkte einstellt. Bei Polynomen mit wenig Gliedern ist auch das nicht perfekt. Dann sollte man die Stützstellen manuell justieren.

Mit der Erarbeitung des nächsten Abschnitts Tschebyschow modifiziert musste zwischen normal und modifiziert umgeschaltet werden. Als Schalter wurde das Vorzeichen der Tschebyschow-Potenz gewählt. Für das neuere modifiziert-Verfahren sollte es positiv sein. Die Verarbeitung der Tschebyschow-Potenz wurde nach der FEPOLYN-Version 2017-02-15 umgestellt. Um die gleichen Ergebnisse für die Beispiele in diesem Abschnitt zu erzielen, sind die p-Werte negiert, also als negative Zahl für die "Tschebyschow-Potenz" einzugeben.

Tschebyschow modifiziert

Eine weitere Variation ist die Aktivierung eines Nullwertes. Der Nullwert ist der Wert der Interpolationskurve bei θ = 0, sozusagen der nullte Punkt. r(θ=0) ist zwar Null, aber y(x=0) ist vom Wert her die Brennweite, bzw. A0 eines um ein Glied erhöhten Polynoms. Die Tschebyschow-Punkte werden etwas anders verteilt.

Grafik 42
Der Nullwertpunkt (links in rot) ist mit dem einen Ende des Halbkreises identisch und der Winkel bis zum nächsten (ersten) Punkt ist genauso, wie die Winkel zwischen den anderen Punkten (Abstände im Verhältnis 1, 1, ... 1, 0.5).
Screenshot-Montage 43
Es werden Polynome mit 3 Gliedern verglichen, die nach Tschebyschow mit verschiedenen Ansätzen erstellt wurden.
Der dunkelgraue Streifen entspricht 9 Bildpixel (je 4,5 Bildpixel nach oben und nach unten) und geht bis zum maximalen Einfallswinkel von 125°.
blaue Kurve: Stützpunkte nach den alten Regeln von Grafik 34
Halbkreisteilung: 0.5, 1, 0.5. p = Tschebyschow-Potenz , Tschebyschow-Potenz = -2.89
rote Kurve: Polynom mit Nullwert, und zwei weiteren Stützpunkten nach den Regeln von Grafik 42
Halbkreisteilung: 1, 1, 0.5. p = 3.3 Da der erste Punkt bereits bei Null ist sind die Punkte weiter auseinander. Dadurch steigt die Wellenamplitude gegenüber dem nächsthöheren Polynom ohne Nullwert. Die Nullwertaktivierung ist im Normalfall nicht zu empfehlen, aber eine Option für spezielle Untersuchungen.
grüne Kurve: Stützpunkte nach den neuen Regeln von Grafik 42
Halbkreisteilung: 1, 1, 0.5. p = 1.89. Kein Nullwert. Trotzdem ist das erste Intervall so groß, als ob es einen Nullwert gäbe. Die für das Nullwertpolynom vorgesehene Halbkreisteilung verbessert bei einem normalen Polynom die Symmetrie und Welligkeit (aber nicht perfekt). Abstände zwischen Extremstelle und Nullstelle entsprechen 0,5 und zwischen Nullstellen 1.0. Bei einem Fehlerdiagramm beginnt die Kurve bei 0° mit einem Maximum oder Minimum, so dass das erste Halbkreisintervall 0,5 entspricht. Bei einem Abweichungsdiagramm beginnt die Kurve bei 0° immer mit einer Nullstelle, so dass die andere Teilung, die mit 1,0 beginnt, die passendere ist. Je nach Diagramm ist die entsprechende Teilung zu verwenden. Der Teilungs-Erstwert wird mit dem Vorzeichen der Tschebyschow-Potenz ausgewählt. Für das häufiger verwendete Abweichungsdiagramm wird das Vorzeichen positiv.
Screenshots 42 43 44
 weiße Kurve:  optimierte Stützpunkte, Variante 1
Halbkreisteilung: optimiert bis 125°. p = 2
Ausgehend von einer "1, 1, 0.5"-Teilung (entsprechend Grafik 42) wurden die Abstände zwischen den Stützstellen gegenläufig zu den Wellenhöhen verändert. Hinter dem letzten Stützpunkt wurde ein Punkt gesucht, der in Höhe eines Wellenbergs oder -tals lag. Dieser Punkt wurde auf 125° skaliert. Das wurde so oft wiederholt, bis die Stützstellen sich nicht mehr veränderten. Es wird eine sehr gute Symmetrie und die geringste Welligkeit erreicht.
 gelbe Kurve:  optimierte Stützpunkte, Variante 2
Halbkreisteilung: optimiert mit Abweichung Null bei 125°. p = 2
Ausgehend von einer "1, 1, 0.5"-Teilung (entsprechend Grafik 42) wurden die Abstände zwischen den Stützstellen gegenläufig zu den Wellenhöhen verändert. Der letzte Stützpunkt wurde auf 125° skaliert. Das wurde so oft wiederholt, bis die Stützstellen sich nicht mehr veränderten. Die Abweichung Null bei 125° führt zu einem erweiterten Bereich, bis die Funktion die Kanalgrenze überschreitet. Damit steigt auch die Welligkeit bei weiterhin sehr guter Symmetrie. Diese Optimierung ist nur sinnvoll bei höherer Gliedzahl, wo auch die vergrößerte Abweichung Bildpixel-Bruchteile beträgt.
Screenshot-Montage 44
Die Optimierung der Stützstellenabstände erfolgt nach dem vereinfachten Prinzip, dass die Lage der Extrema nicht gesucht wird, sondern aus dem Tschebyschow-Halbkreis vorgegeben wird. Bei einer Gliedzahl 6 liegt die Welligkeit des Polynoms unter dem Fehler der auf vier Nachkommastellen gerundeten Bildradiuswerten. Die Rundungsschwankungen sorgen für eine unregelmäßige Kurve, aus der die Polynomextrema nicht mehr ersichtlich sind. Die Optimierung konvergiert nicht mehr. Mit einer stark gebremsten Korrektur, z. B. durch einen Divisor 100 (sonst 6), ist noch ein Einrasten in die Unregelmäßigkeiten der Kurve möglich. Die rote Kurve entsteht durch die gebremsten Optimierung der weißen Kurve (Vorgabe: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0.5 -Teilung). Die "Optimierung" verbessert nicht mehr und kann bei höheren Gliedzahlen weggelassen werden.
Nachfolgend werden für verschiedene Gliedzahlen modifizierte Tschebyschow-Polynome erzeugt. Die Stützstellen werden auf minimale Polynom-Abweichung optimiert, wenn eine Optimierung möglich ist.
Für die Bestimmung von Koeffizienten mit möglichst geringer Stellenzahl wurde die Koeffizienten-Eingabemöglichkeit genutzt. Es wird ein optimaler Wert vorgeschlagen, der bestätigt, oder mit einem eigenen Wert überschrieben werden kann. Beim Übernehmen des weiß markierten Bereiches des Vorschlags muss abhängig von den nachfolgenden Ziffern die letzte Stelle gegebenenfalls aufgerundet werden. Die Neuberechnung nach jeder Eingabe kompensiert die Rundungs-Abweichung durch eine angepasste Vorgabe für den nächsten Wert.
Der weiß markierte Bereich der Vorgabewerte ist für eine Bildpixelabweichung von weniger als eins erforderlich. Bei genaueren Polynomen (hier ab 4 Glieder) ist die Bildpixelabweichung noch kleiner, so dass die Koeffizienten auch mehr Stellen benötigen, um dem Verlauf des Ausgangspolynoms entsprechend genau zu folgen. Wegen der Vorgabenanpassung reicht es, nur den letzten Koeffizient mit einer Stelle mehr, als weiß vorgeschlagen zu nehmen. Man erhält ein idividuell auf die Rundungssituation angepasstes Polynom.
Je nach Eingabegenauigkeit werden die vorberechneten Stützstellen mehr oder weniger eingehalten. Im Abweichungsdiagramm werden die vorberechneten Stützstellen angezeigt, auch wenn sie nicht mehr passen. Bei den Screenshot-Montagen mehrerer Kurven wurden die Stützstellen im Interesse der Übersichlichkeit weggenommen.
Screenshot-Montage 45
In der Abbildungsfunktion für 2 Glieder ist die Abweichung gerade noch zu sehen. Der Fehler in Bezug zum Endwert ist geringer, als 1%. Für manche Zwecke, wie z. B. die Umwandlung in eine stereografische Darstellung, reicht das schon aus, solange dazu keine Bilder zusammengefügt werden müssen (kein Stitching).
Screenshots 45 46 47
Screenshot-Montage 46 und 47
Die Screenshot-Montagen zeigen die Abweichungen von 2- bis 6-gliedrigen Abbildungspolynomen (Tschebyschow modifiziert und optimiert). Die beiden Screenshot-Montagen unterscheiden sich nur im Maßstab der Abweichung.
Screenshot-Montage 46 hat einen gestuften Hintergrund mit 51, 7 und 1 Bildpixel Höhe, wobei der 1 Bildpixel breite Streifen hinter den Kurven schlecht zu sehen ist.
Screenshot-Montage 47 hat einen gestuften Hintergrund mit 7 und 1 Bildpixel Höhe. Die Kurve des zweigliedrigen blauen Polynom ist oben und unten abgeschnitten und besteht aus auseinandergezogenen Punkten.
Die Hintergrundstreifen gehen bis zum maximalen Einfallswinkel der Optik, der 125° beträgt.

Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED: 2 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2, auf Abweichung optimiert, blau
 r = 3,7107 mm * (θ - 0,02392 θ3,   Abweichungsbereich knapp 51 Bildpixel - für einfache Umrechnungen ausreichend

Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED: 3 Glieder, Tschebyschow-Potenz 1.89, auf Abweichung optimiert, rot
 r = 3,5972 mm * (θ + 0,00017 θ3 - 0,004051 θ5,   Abweichungsbereich etwas über 7 Bildpixel - für Umrechnungen ohne Stitching

Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED: 4 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2.43, auf Abweichung optimiert, grün
 r = 3,6164 mm * (θ - 0,00902 θ3 - 0,000068 θ5 - 0,0004852 θ7,   Abweichung gut ±½ Bildpixel - genau

Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED: 5 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2, auf Abweichung optimiert, weiß
 r = 3,6213 mm * (θ - 0,01230 θ3 + 0,002225 θ5 - 0,001092 θ7 + 0,00005447 θ9,   Abweichung ca. ±¼ Bildpixel - sehr genau
... mit Genauwert am Bereichsende 125°, gelb
 r = 3,6215 mm * (θ - 0,01245 θ3 + 0,002350 θ5 - 0,001131 θ7 + 0,00005852 θ9,   Abweichung ca. ±¼ Bildpixel - sehr genau

Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED: 6 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2, optimieren nicht möglich (und nicht erforderlich), magenta
 r = 3,6194 mm * (θ - 0,01014 θ3 - 0,000299 θ5 + 0,000115 θ7 - 0,0001990 θ9 + 0,00001939 θ11,   Abweichungen fallen durch die Schwankungen der auf 4 Stellen begrenzten Punktwerte nicht mehr auf - höchste Genauigkeit

Die eben angeführten Polynome beschreiben das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED mit geringer bis zu höchster Genauigkeit. Für die Richtigkeit übernehme ich jedoch keine Gewähr.

Die anderen Entaniya Fisheyes HAL

Entaniya Fisheye HAL 200 3.6 E/MFT

Ist Anfang 2018 neu angekündigt und noch nicht im Web-Shop. Die Daten dieses Objektivs müssen noch ausgewertet werden.

Entaniya Fisheye HAL 200 5.0 E/EF

Ist Anfang 2018 neu angekündigt und noch nicht im Web-Shop. Die Daten dieses Objektivs müssen noch ausgewertet werden.

Entaniya Fisheye HAL 250 2.3 E/MFT

Screenshots 48 49
Screenshot-Montage 48 und 49
Die Screenshot-Montagen zeigen die Abweichungen von 2- bis 6-gliedrigen Abbildungspolynomen (Tschebyschow modifiziert und optimiert). Die beiden Screenshot-Montagen unterscheiden sich nur im Maßstab der Abweichung.
Screenshot-Montage 48 hat einen gestuften Hintergrund mit 47, 7 und 1 Bildpixel Höhe, wobei der 1 Bildpixel breite Streifen hinter den Kurven schlecht zu sehen ist.
Screenshot-Montage 49 hat einen gestuften Hintergrund mit 7 und 1 Bildpixel Höhe. Die Kurve des zweigliedrigen blauen Polynom ist oben und unten abgeschnitten und besteht aus auseinandergezogenen Punkten.
Die Hintergrundstreifen gehen bis zum maximalen Einfallswinkel der Optik, der 125° beträgt.

Entaniya Fisheye HAL 250 2.3 E/MFT: 2 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2.4, auf Abweichung optimiert, blau
 r = 2,3687 mm * (θ - 0,0258 θ3,   Abweichungsbereich etwa 47 Bildpixel - für einfache Umrechnungen ausreichend

Entaniya Fisheye HAL 250 2.3 E/MFT: 3 Glieder, Tschebyschow-Potenz 1.8, auf Abweichung optimiert, rot
 r = 2,3018 mm * (θ - 0,00367 θ3 - 0,003734 θ5,   Abweichungsbereich knapp 7 Bildpixel - für Umrechnungen ohne Stitching

Entaniya Fisheye HAL 250 2.3 E/MFT: 4 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2.4, auf Abweichung optimiert, grün
 r = 2,3117 mm * (θ - 0,01119 θ3 - 0,000425 θ5 - 0,000408 θ7,   Abweichung gut ±¾ Bildpixel - genau

Entaniya Fisheye HAL 250 2.3 E/MFT: 5 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2.1, auf Abweichung optimiert, weiß
 r = 2,3168 mm * (θ - 0,01655 θ3 + 0,003335 θ5 - 0,001404 θ7 + 0,00008942 θ9,   Abweichung ca. ±½ Bildpixel - sehr genau
... mit Genauwert am Bereichsende 125°, gelb
 r = 2,317 mm * (θ - 0,01679 θ3 + 0,003533 θ5 - 0,001465 θ7 + 0,0000957 θ9,   Abweichung ca. ±½ Bildpixel - sehr genau

Entaniya Fisheye HAL 250 2.3 E/MFT: 6 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2, optimieren nicht möglich (und nicht erforderlich), magenta
 r = 2,3148 mm * (θ - 0,0132 θ3 - 0,000489 θ5 + 0,000396 θ7 - 0,0002839 θ9 + 0,000028263 θ11,   Abweichungen fallen durch die Schwankungen der auf 4 Stellen begrenzten Punktwerte nicht mehr auf - höchste Genauigkeit

Die eben angeführten Polynome beschreiben das Entaniya Fisheye HAL 250 2.3 E/MFT mit geringer bis zu höchster Genauigkeit. Für die Richtigkeit übernehme ich jedoch keine Gewähr.

Entaniya Fisheye HAL 250 3.0 C/E/MFT

Auch hier sollen modifizierte Tschebyschow-Polynome abgeleitet, optimiert mit und reduzierter Stellenzahl erstellt werden.

Screenshot-Animation 50
Beginnend mit 2 Gliedern kommt nach der Optimierung eine eingedellte Abweichungs-Kurve zustande - in der Animation in rot dargestellt. Die Abweichung beträgt weniger als ein Prozent und die Delle ist davon nur ein-Bruchteil. In der Abbildungsfunktion würde man die Delle überhaupt nicht bemerken. Das Polynom kann so eine kurze Delle nicht erzeugen. Schuld ist die Interpolationskurve, die den vorgegebenen Punkten genau folgt. Ein Punkt passt nicht genau in den Kurvenverlauf. In der Tabelle war für diese Optik ein 90°-Punkt, während er für die anderen Optiken 89,8° beträgt. Ändert man den Punkt von 90° auf 89.8° bei gleichbleibendem Radius, wird die Kurve glatt - in der Animation grün dargestellt. Inzwischen hat der Hersteller den gerundeten Wert 90° durch den genauen Wert 89.8° ausgetauscht. Nachfolgende Screenshots und Polynome zu diesem Fisheye basieren auf dem genauen Wert.
Screenshots 50 51 52
Screenshot-Montage 51 und 52
Die Screenshot-Montagen zeigen die Abweichungen von 2- bis 6-gliedrigen Abbildungspolynomen (Tschebyschow modifiziert und optimiert). Die beiden Screenshot-Montagen unterscheiden sich nur im Maßstab der Abweichung.
Screenshot-Montage 51 hat einen gestuften Hintergrund mit 49, 7 und 1 Bildpixel Höhe, wobei der 1 Bildpixel breite Streifen hinter den Kurven schlecht zu sehen ist.
Screenshot-Montage 52 hat einen gestuften Hintergrund mit 7 und 1 Bildpixel Höhe. Die Kurve des zweigliedrigen blauen Polynom ist oben und unten abgeschnitten und besteht aus auseinandergezogenen Punkten.
Die Hintergrundstreifen gehen bis zum maximalen Einfallswinkel der Optik, der 125° beträgt.

Entaniya Fisheye HAL 250 3.0 C/E/MFT: 2 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2.4, auf Abweichung optimiert, blau
 r = 3,1091 mm * (θ - 0,02438 θ3,   Abweichungsbereich etwa 49 Bildpixel - für einfache Umrechnungen ausreichend

Entaniya Fisheye HAL 250 3.0 C/E/MFT: 3 Glieder, Tschebyschow-Potenz 1.9, auf Abweichung optimiert, rot
 r = 3,0167 mm * (θ - 0,00102 θ3 - 0,003931 θ5,   Abweichungsbereich etwas über 7 Bildpixel - für Umrechnungen ohne Stitching

Entaniya Fisheye HAL 250 3.0 C/E/MFT: 4 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2.4, auf Abweichung optimiert, grün
 r = 3,0317 mm * (θ - 0,00966 θ3 - 0,000165 θ5 - 0,0004606 θ7,   Abweichung gut ±½ Bildpixel - genau

Entaniya Fisheye HAL 250 3.0 C/E/MFT: 5 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2, auf Abweichung optimiert, weiß
 r = 3,0365 mm * (θ - 0,01351 θ3 + 0,002538 θ5 - 0,001178 θ7 + 0,00006453 θ9,   Abweichung ca. ±¼ Bildpixel - sehr genau
... mit Genauwert am Bereichsende 125°, gelb
 r = 3,0367 mm * (θ - 0,0137 θ3 + 0,002698 θ5 - 0,001228 θ7 + 0,00006972 θ9,   Abweichung ca. ±¼ Bildpixel - sehr genau

Entaniya Fisheye HAL 250 3.0 C/E/MFT: 6 Glieder, Tschebyschow-Potenz 2, optimieren nicht möglich (und nicht erforderlich), magenta
 r = 3,0347 mm * (θ - 0,01109 θ3 - 0,000287 θ5 + 0,000171 θ7 - 0,0002181 θ9 + 0,00002156 θ11,   Abweichungen fallen durch die Schwankungen der auf 4 Stellen begrenzten Punktwerte nicht mehr auf - höchste Genauigkeit

Die eben angeführten Polynome beschreiben das Entaniya Fisheye HAL 250 3.0 C/E/MFT mit geringer bis zu höchster Genauigkeit. Für die Richtigkeit übernehme ich jedoch keine Gewähr.

Entaniya Fisheye HAL 250 4.3 E/EF

Ist Anfang 2018 neu angekündigt und noch nicht im Web-Shop. Die Daten dieses Objektivs müssen noch ausgewertet werden.

Zusammenfassung der vorgeschlagenen Polynome

Die in den letzen Abschnitten aufgeführten Polynome sind hier noch einmal übersichtlich aufgeführt. In den letzten Abschnitten bezog sich die Abweichung auf fiktive Bildpixel [Bildkreis seitlich in 8K-Format eingefügt, wobei rmax(θ = 100°|125°) 3840 Bildpixel entspricht]. In folgenden Tabellen ist die Abweichung konkreter aufgeführt: absolut als mm-Abweichung von der Interpolationskurve und prozentual bezogen auf den größten Bildradius bei θ = 100°|125° (je nach Objektiv).

Später hinzugefügte Tabellen können eine Spalte 'Tschebyschowpotenz p' enthalten. Ab der FEPOLYN-Version 2018-04-04 kann aus der Stützstellenoptimierung die äquivalente Potenz ermittelt werden. Damit kann man eine höhere Treffsicherheit für die angenommenen Extremstellen erwarten. Die angenommenen Extremstellen werden ab dieser FEPOLYN-Version im Menü "Wert" angezeigt.

Tabelle 3: Entaniya Fisheye HAL 200 3.6 E/MFT
Glied-
zahl
Brenn-
weite
Polynom Abweichung Tschebyschow-
potenz
 f [mm]  a1  a3 a5 a7 a9 a11  Δr [mm]
  Δr  [%]
r(100°)
p
    2    3,694 1 -0,02116 0,0183 0,305 2,293
    3    3,6397 1 -0,00284 -0,00479 0,002 0,0326 1,804
    4    3,6434 1 -0,00575 -0,0027 -0,0004221 0,00103 0,0224 2,519
    5    3,65 1 -0,01285 0,0051 -0,003651 0,000452 0,00034 0,0056 2,405
3,6501 1 -0,1301 0,00534 -0,003777 0,0004735 ← 100° genau 0,000365 0,0061 2,235
    6    3,6476 1 -0,00872 -0,00232 0,001844 -0,0013425 0,00021412 0,00017 0,0028

Tabelle 4: Entaniya Fisheye HAL 200 5.0 E/EF
Glied-
zahl
Brenn-
weite
Polynom Abweichung
 f [mm]  a1  a3 a5 a7 a9 a11  Δr [mm]
  Δr  [%]
r(100°)
    2    1
    3    1
    4    1
    5    1
1 ← 100° genau
    6    1

Tabelle 5: Entaniya Fisheye HAL 250 2.3 E/MFT
Glied-
zahl
Brenn-
weite
Polynom Abweichung
 f [mm]  a1  a3 a5 a7 a9 a11  Δr [mm]
  Δr  [%]
r(125°)
    2    2,3687 1 -0,0258 0,0278 0,62
    3    2,3018 1 -0,00367 -0,003734 0,004 0,089
    4    2,3117 1 -0,01119 -0,000425 -0,000408   0,001 0,0223
    5    2,3168 1 -0,01655 0,003335 -0,001404 0,00008942 0,00037 0,0081
2,317   1 -0,01679 0,003533 -0,001465 0,0000957 ← 125° genau 0,00041 0,0091
    6    2,3148 1 -0,0132 -0,000489 0,000396 -0,0002839 0,000028263 0,00009 0,002

Tabelle 6: Entaniya Fisheye HAL 250 3.0 C/E/MFT
Glied-
zahl
Brenn-
weite
Polynom Abweichung
 f [mm]  a1  a3 a5 a7 a9 a11  Δr [mm]
  Δr  [%]
r(125°)
    2    3,1091 1 -0,02438 0,0382 0,64
    3    3,0167 1 -0,00102 -0,003931 0,0056 0,094
    4    3,0317 1 -0,00966 -0,000165 -0,0004606 0,001 0,0171
    5    3,0365 1 -0,01351 0,002538 -0,001178 0,00006453 0,00035 0,0059
3,0367 1 -0,0137 0,002698 -0,001228 0,00006972 ← 125° genau 0,00039 0,0065
    6    3,0347 1 -0,01109 -0,000287 0,000171 -0,0002181 0,00002156 0,00007 0,0012

Tabelle 7: Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED
Glied-
zahl
Brenn-
weite
Polynom Abweichung
 f [mm]  a1  a3 a5 a7 a9 a11  Δr [mm]
  Δr  [%]
r(125°)
    2    3,7107 1 -0,02392 0,0468 0,66
    3    3,5972 1 0,00017 -0,004051 0,0069 0,097
    4    3,6164 1 -0,00902 -0,000068 -0,0004852 0,001 0,0138
    5    3,6213 1 -0,0123 0,002225 -0,001092 0,00005447 0,00038 0,0053
3,6215 1 -0,01245 0,00235 -0,001131 0,00005852 ← 125° genau 0,00041 0,0058
    6    3,6194 1 -0,01014 -0,000299 0,000115 -0,000199 0,00001939 0,00009 0,0013

Tabelle 8: Entaniya Fisheye HAL 250 4.3 E/EF
Glied-
zahl
Brenn-
weite
Polynom Abweichung
 f [mm]  a1  a3 a5 a7 a9 a11  Δr [mm]
  Δr  [%]
r(125°)
    2    1
    3    1
    4    1
    5    1
1 ← 125° genau
    6    1

Für die Richtigkeit der übernommenen Werte übernehme ich keine Gewähr (letzte Änderung: 2017-05-21).

Parameter für Panorama-Tools

z. Z. noch leer...

ohne Korrektur (fisheye.xml)
mit Korrektur (fisheyeCorr.xml)
Crop mit Korrektur (fisheyeCorrCrop.xml)

Funktionen

Hier werden Funktionen, die kein Polynom sind, verglichen. Das erfolgt zuerst nur für das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED.

Screenshot-Montage 53
Die Screenshot-Montage zeigt mehrere Funktionen. Die rechte graue Hintergrundstreifen kennzeichnet den Bereich oberhalb 125°, den die Optik nicht mehr erfassen kann. Die Tabellenwerte sind als grüne Kreuze dargestellt. Die blaue Interpolationskurve verbindet die grünen Kreuze und steht für die tatsächliche Abbildungsfunktion der Optik. Die zu vergleichenden Funktionen sind umso besser geeignet, je genauer sie der Interpolationskurve entsprechen.

Fundamentale Funktion "linear", bzw. "äquidistant", rot
   f = 3,6188 mm

Fundamentale Funktion "flächentreu", bzw. "äquisolid", gelb
   f = 3,6199 mm

"Skalierte Winkelfunktion", orange
   f = 3,6193 mm, L = - 0,3345 (negativ: Sinus-Variante)

Funktion "verschobenes Projektionszentrum", cyan
   f = 3,6184 mm, Z = - 1,7454 (mit diesem Z nur bis 124,955° eineindeutig)
Screenshots 53 54
Screenshot-Montage 54
Die Screenshot-Montage zeigt mehrere Abweichungsfunktionen. Der rechte graue Hintergrundstreifen kennzeichnet den Bereich oberhalb 125°, den die Optik nicht mehr erfassen kann. Die Tabellen-Winkelwerte sind als grüne Kreuze dargestellt. Die blaue Waagerechte verbindet die grünen Kreuze und steht für die Abweichung Null. Die zu vergleichenden Abweichungen beziehen sich auf den Bildradius bei  θ = 125° und sind umso besser geeignet, je weniger sie von der Waagerechten abweichen. Von den zwei fundamentalen Funktionen der vorherigen Sceenshot-Montage wurden skalierte Funktionen abgeleitet und deren Abweichungen hier hinzugefügt.

Funktion "linear", bzw. "äquidistant", rot
obere fundamental: f = 3,6188 mm, Abweichung zwischen 0% und +10,8%
untere skaliert: fadapted = 3,373 mm, Abweichung zwischen -3,26% und +3,25%

Funktion "flächentreu", bzw. "äquisolid", gelb
untere fundamental: f = 3,6199 mm, Abweichung zwischen 0% und -9,9%
obere skaliert: fadapted = 3,917 mm, Abweichung zwischen +2,48% und -2,5%

"Skalierte Winkelfunktion", orange
f = 3,6193 mm, L = - 0,3345, Abweichung zwischen +1,215% und -1,215%

Funktion "verschobenes Projektionszentrum", cyan
f = 3,6184 mm, Z = - 1,7454, Abweichung zwischen -2,57% und +2,57%

Die Abweichungen der einzelnen Funktionen sind erheblich größer, als selbst beim einfachsten Polynom.
Die fundamentalen Funktionen haben eigentlich keinen Steuerparameter. Die Anpassung erfolgt durch Auswahl der geeignetsten Funktion. Die Brennweite ist durch den Anstieg der Abbildungsfunktion in der Bildmitte (θ → 0) bestimmt. Eine skalierte Funktion, besteht aus der gleichen (fundamentalen) Funktion, hat aber eine frei wählbare Brennweite fadapted. Die Funktion kann so skaliert werden, dass sie die Abbildungsfunktion (bzw. Interpolationskurve) kreuzt, und die maximalen Abweichungen beiderseits der Kurve möglichst gleich, und damit minimal werden. Die erzielbaren Ergebnisse sind im Abschnitt Screenshot-Montage 54 eingetragen. Dort steigert sich die Genauigkeit auf das Drei bis Vierfache.

Die parametrische Funktionen skalierte Winkelfunktion und verschobenes Projektionszentrum überbieten oder erreichen etwa die Genauigkeit einer skalierten Funktion, und das sogar mit der originalen Brennweite. Für das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED ist die skalierte Winkelfunktion die geeignetste von beiden.

Wird weitergeschrieben...

Einzelnachweise

  1. a Fischaugenobjektiv, Wikipedia, abgerufen am 30.01.2017
    b Abschnitt: Mathematische Modelle, Punkt: Polynom
  2. Fisheye-Nikkor lenses
  3. Entaniya Super Wide Fisheye Lens for P0.5/M12. entapano.com, abgerufen am 31. Januar 2018 (englisch)
  4. Entaniya Fisheye HAL 250/200. entapano.com, abgerufen am 31. Januar 2018 (englisch).
  5. QB64 www.qb64.net, abgerufen am 11. März 2018 (englisch).
  6. QB64 www.qb64.org, abgerufen am 03. März 2018 (englisch).
  7. Interpolation_(Mathematik) Abschnitt: Stückweise_Interpolation, Wikipedia, abgerufen am 08. Januar 2017.
  8. Spline-Interpolation, Wikipedia, abgerufen am 03. März 2018.
  9. Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, Wikipedia, abgerufen am 14. Februar 2017.
  10. Tschebyschow-Polynom, Abschnitt: Tschebyschow-Polynome erster Art, Wikipedia, abgerufen am 14. Februar 2017.

 


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